Introduction

Proprortionnalité des risques

La spécification usuelle est: \[h(t)=h_0(t)\times e^{X^{'}b}\]

$h(t)$ est une fonction de risque.
$h_0(t)$ est une fonction qui dépend du temps mais pas des caractéristiques individuelles. Il définiera le risque de base (baseline).
$e^{X^{'}b}$ est une fonction qui ne dépend pas du temps, mais des caractéristiques individuelles $X^{'}b=\sum_{k=1}^{p}b_kX_k$. La forme exponentielle assurera la positivité du risque.

Le risque de base

$h(t)=h_0(t)$ donc $e^{X^{'}b}=1$
Observations pour lesquelles $X=0$

Risques proportionnels

Cette hypothèse stipule l’invariance dans le temps du “rapport des risques” (hazard ratio).

Avec une seule covariable $X$ introduite au modèle, et 2 individus $A$ et $B$: $h_A(t)=h_0(t)e^{bX_{A}}$ et $h_B(t)=h_0(t)e^{bX_{B}}$.
Le rapport des risques entre $A$ et $B$ est égal à:
\[\frac{h_A(t)}{h_B(t)}= \frac{e^{bX_A}}{e^{bX_B}}=e^{b(X_A-X_B)}\]

Autrement dit, la proportionalité des risques peut traduire l’absence d’une interaction significative entres les rapports de risques estiméspar un modèle à risque proportionnel et la durée (ou une fonction de celle-ci).

Illustration graphique

On part d’un modèle à risque constant avec $h_0(t)=0.1$.

Comme $h_1(t)=0.2$ quel que soit $t$, le rapport des risques est toujours égal à $\frac{0.2}{0.1}=2=e^{b}$. Le coefficient estimé est égal à $log(2)=0.69$.
Pour $h_{1b}(t)$, le rapport de risques augmente avec le temps: $t=1$, $h_{1b}(1)=0.15$ et $h_{1b}(1000)=0.25$ l’hypothèse de proportionalité n’est donc pas respectée.

Les modèles

Modèle semi-paramétrique de Cox
Le modèle estime directement les $b$ indépendement de $h_0(t)$, c’est pour cela qu’il est semi-paramétrique. Les rapports de risque ($e^{b}$) seront utilisés pour estimer la baseline $h_0(t)$, qui peut s’avérer nécessaire pour calculer des fonctions de survie ajustées. Le respect de l’hypothèse de proportionalité est donc important et donc être testé.

Modèle à temps discret

Modèle à temps discret: De type paramétrique. Peut être estimé à l’aide d’un modèle logistique, probit ou complémentaire log-log. Le premier est le plus courant, le dernièr a l’avantage d’être directement relié au modèle de Cox (modèle de Cox à temps discret). Sa forme diffère de la présentation usuelle d’un modèle à risque proportionnel. Toutefois, il est régi par une hypothèse de proportionnalité. Le non respect de l’hypothèse est moins critique car la baseline du « risque » est estimée simultanément. Il est comme son nom l’indique, particulièrement adapté au durées discrètes ou groupées. Avec une spécification logistique, les Odds vont sous certaines conditions, se confondre avec des probabilités/risques.
Les modèles paramétriques standard
Les modèles dits de Weibull, exponentiel ou Gompertz ont une spécification sous hypothèse de risque proportionnel. Ils seront traités brièvement dans les compléments. Historiquement, le modèle de Cox est une réponse à une possible difficulté dans l’ajustement du risque par une loi de distribution du risque a priori.
Modèle paramétrique de Parmar-Royston (non traité)
$h_0(t)$, via le risque cumulé $H(t)$, est estimé simultanément avec les risques ratios en utilisant la populaire méthode des splines cubiques. Il est implémenté dans les logiciels standards (R, Stata, Sas). Les rapports de risque sont très proches de ceux estimés par le modèle classique de Cox.
Il offre donc une alternative particulièrement intéressante à celui-ci, et il s’est maintenant largement diffusé dans l’analyse des effets cliniques.

--- title: "Introduction" --- # Proprortionnalité des risques La spécification usuelle est: $$h(t)=h_0(t)\times e^{X^{'}b}$$ * $h(t)$ est une fonction de risque. * $h_0(t)$ est une fonction qui dépend du temps mais pas des caractéristiques individuelles. Il définiera le risque de base (baseline). * $e^{X^{'}b}$ est une fonction qui ne dépend pas du temps, mais des caractéristiques individuelles $X^{'}b=\sum_{k=1}^{p}b_kX_k$. La forme exponentielle assurera la positivité du risque. **Le risque de base** * **$h(t)=h_0(t)$ donc $e^{X^{'}b}=1$** * Observations pour lesquelles $X=0$ **Risques proportionnels** Cette hypothèse stipule l'invariance dans le temps du "rapport des risques" (**hazard ratio**). Avec une seule covariable $X$ introduite au modèle, et 2 individus $A$ et $B$: $h_A(t)=h_0(t)e^{bX_{A}}$ et $h_B(t)=h_0(t)e^{bX_{B}}$. Le rapport des risques entre $A$ et $B$ est égal à: $$\frac{h_A(t)}{h_B(t)}= \frac{e^{bX_A}}{e^{bX_B}}=e^{b(X_A-X_B)}$$ Autrement dit, la proportionalité des risques peut traduire l'absence d'une interaction significative entres les rapports de risques estiméspar un modèle à risque proportionnel et la durée (ou une fonction de celle-ci). **Illustration graphique** ![](images/Image18.png){width=70%} On part d'un modèle à risque constant avec $h_0(t)=0.1$. Comme $h_1(t)=0.2$ quel que soit $t$, le rapport des risques est toujours égal à $\frac{0.2}{0.1}=2=e^{b}$. Le coefficient estimé est égal à $log(2)=0.69$. Pour $h_{1b}(t)$, le rapport de risques augmente avec le temps: $t=1$, $h_{1b}(1)=0.15$ et $h_{1b}(1000)=0.25$ l'hypothèse de proportionalité n'est donc pas respectée. # Les modèles **Modèle semi-paramétrique de Cox** Le modèle estime directement les $b$ indépendement de $h_0(t)$, c'est pour cela qu'il est semi-paramétrique. Les rapports de risque ($e^{b}$) seront utilisés pour estimer la baseline $h_0(t)$, qui peut s'avérer nécessaire pour calculer des fonctions de survie ajustées. Le respect de l’hypothèse de proportionalité est donc important et donc être testé. **Modèle à temps discret** * ***Modèle à temps discret***: De type paramétrique. Peut être estimé à l'aide d'un modèle logistique, probit ou complémentaire log-log. Le premier est le plus courant, le dernièr a l'avantage d'être directement relié au modèle de Cox (modèle de Cox à temps discret). Sa forme diffère de la présentation usuelle d'un modèle à risque proportionnel. Toutefois, il est régi par une hypothèse de proportionnalité. Le non respect de l'hypothèse est moins critique car la baseline du « risque » est estimée simultanément. Il est comme son nom l'indique, particulièrement adapté au durées discrètes ou groupées. Avec une spécification logistique, les Odds vont sous certaines conditions, se confondre avec des probabilités/risques. * **Les modèles paramétriques standard** Les modèles dits de Weibull, exponentiel ou Gompertz ont une spécification sous hypothèse de risque proportionnel. Ils seront traités brièvement dans les compléments. Historiquement, le modèle de Cox est une réponse à une possible difficulté dans l’ajustement du risque par une loi de distribution du risque a priori. * **Modèle paramétrique de Parmar-Royston** (non traité) $h_0(t)$, via le risque cumulé $H(t)$, est estimé simultanément avec les risques ratios en utilisant la populaire méthode des *splines cubiques*. Il est implémenté dans les logiciels standards (R, Stata, Sas). Les rapports de risque sont très proches de ceux estimés par le modèle classique de Cox. Il offre donc une alternative particulièrement intéressante à celui-ci, et il s'est maintenant largement diffusé dans l’analyse des effets cliniques.